Transformacje (działania) Wyższe

Czy nie zastanawiało Was nigdy co jest dalej po dodawaniu, mnożeniu, potęgowaniu? Dalsze działania (transformacje) wydają się być szczególnie ciekawe, dla naszych rozważań nazwaliśmy je TEH(x) w skrócie Ŧ(x), gdzie x oznacza stopień transformacji (działania).

Przyklad:

jezeli y = 3 Ŧ(x) 3 to:
dla x = 0, y = 3 (druga trójka nie działa na podmiot transformacji)
dla x = 1, y = 3+3 = 6
dla x = 2, y = 3*3 = 9
dla x = 3, y = 3^3 = 27
dla x = 4, y = 19683 (lub 7625597484987) = 3^3^3 = (3^3)^3 lub bardziej zgodnie z konwencją 3^(3^3)
dla x = 5, y = 3 Ŧ(4) 3 Ŧ(4) 3 = 19683^19683^19683 ≈ 1,401*10^1663618948 lub zgodnie z konwencją ok. 10^(1,704*10^84580) co oznacza, że 10 podnosimy do potęgi zawierającej ponad 84 tysiące cyfr!

3 Ŧ(4) 4 = 3^3^3^3 =
a) w/g kolejności {-} [(3^3)^3]^3 = (27^3)^3 = 19683^3 = 7.625.597.484.987
b) zgodnie z konwencją {+} 3^[3^(3^3)] = 3^(3^27) = 3^19683 ≈ 1,5054*10^9391

Właściwości:
2 Ŧ(x) 2 = 4 (zawsze dla kazdego x>0 nal. do N)
a Ŧ(x) a = a Ŧ(x+1) 2 dla x>0
np. 3 Ŧ(5) 3 = 3 Ŧ(6) 2

Przy x=3 i więcej występuje problem (zjawisko) alternatywności kolejności wykonywania działań. Skutkuje to w praktyce potrzebą zastosowania dodatkowych wyróżników.
Na przykład dla działania 3 Ŧ(4) 3 istnieją dwie drogi obliczenia wyniku. Pierwszym jest zastosowany wyżej (3^3)^3 ale drugi nie mniej istotny to 3^(3^3).
Wynika to z tego, że potęgowanie a więc prawdopodobnie też wyższe transformacje są one nieprzemienne, a to generuje konieczność stosowania dwóch różnych działań odwrotnych. Dlatego dla potęgowania musimy korzystać z pierwiastkowania by odzyskać podstawę potęgi (a^b=c więc pierwiastek b-tego stopnia z c da nam a), ale by odzyskać wykładnik potęgi, musimy sięgnąć po kolejne narzędzie, którym jest logarytmowanie (a^b=c więc log_ac=b). W związku z tym należołoby nadać dodatkowy wyróżnik (jakby spin) każdej transformacji wyższej, np.:
3 Ŧ(4{-}) 3 = (3^3)^3 = 19683
3 Ŧ(4{+}) 3 = 3^(3^3) = 7625597484987
warto zauważyć, że przy wykonywaniu działań w zwykłej kolejności czyli zgodnie z zapisem {[(a^a)^a]^a}^a, można dokonać redukcji takiego wyrażania do a^(a^4) tak więc a Ŧ(4{-}) b = a Ŧ(3) a^(b-1)

W tym miejscu chciałbym podziękować Panu Adamowi Szelążkowi z Wrocławia za pomoc i konstruktywną krytykę.

Transformacje wyższe dają możliwość zapisywania liczb hipermonstrualnych, np. 9 Ŧ(9) 9 jest tak dużą liczbą, że aby ją zapisć za pomocą nawet działań potęgowych nie starczyło by prawdopodobnie ani miejsca na Ziemi ani życia wszystkich ludzi.
funkcja f(x) = a Ŧ(x{+}) b jest prawdopodobnie najszybciej rosnącą funkcją dla a,b>2.

Istnieje też macierz różnych hipersilni definiowanych na dwa sposoby:
a! = 1+2*3^4...a
a{!₃} = a^...^5^4^3^2^1

Pojawiają się ciekawe zagadnienia dotyczące takich transformacji - co oznaczałby zapis ułamkowy lub ujemny?
Dla dalszych części niniejszej pracy przyjmijmy, że zapis ujemny oznacza działania odwrotne, czyli odpowiednio: odejmowanie, dzielenie, logarytmowanie/pierwiastkowanie itd.
Czyli zapis np. Ŧ(-1) oznacza poprostu odejmowanie.

Wskaźniki Liczbowe Nieprzemienności

Jeżeli mamy dwie liczby a,b takie, że a<b to wskaźnik Đ(a,b) = (a^b)/(b^a)

np. Đ(1,2) = 1/2 = 0,5;
Đ(2,3) = 8/9 = 0,8888...
Đ(3,4) = 81/64 = 1,265625
Đ(6,7) = 279936/117649 = 2,37941673962379620736257851745446...
Đ(2,4) = 16/16 = 1
Đ(2,5) = 32/25 = 1,28
Đ(2,6) = 64/36 = 1,77777...
Đ(2,10) = 1024/100 = 10,24
Đ(3,8) = 6561/512 = 12,814453125
Đ(e,Pi) = 23,14069263/22,45915771836 = 1,03034552421621083244155243754414...

Jeżeli mamy dwie liczby a,b takie, że a<b oraz wyróżnik k należący do N(k>1) to wskaźnik hiperfunkcyjny Ħ względem k Ħ(a,b:k) = [(a T(k) b)] T(1-k) [(b T(k) a];
Właściwość: Ħ(a,b:2) = 0

np.:
Ħ(2,3:3) = 2^3/3^2 = 0,8888...
Ħ(2,3:4) = (2 Ŧ(4)3)log(3 Ŧ(4) 2) = log (16, 27) = 0,8412396509...
Ħ(3,4:5) = (3 Ŧ(5) 4) Ŧ(-4) (4 Ŧ(5) 3) = do policzenia dla cierpliwych ...

Funkcja f(x) = Ħ(e,π :x)
dziedzina: x>1 and x należy do N;
dla x = 2, f(x) = e*π - π*e = 0
dla x = 3, f(x) = e^π / π^e = 1,03034552421621083244155243754414...
dla x = 4, f(x) = logarytm o podstawie [π Ŧ(4) e] z [e Ŧ(4) π] = do policzenia dla chętnych ...

A może ktoś to już wymyślił? Jeśli ktoś coś wie o takich funkcjach, transformacjach itp. proszę dać znać :)

Piszcie na Forum Nauki